ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЭКЛУНДА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЛИУВИЛЛЯ С ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ 

Редькина Татьяна Валентиновна, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра прикладной математики и математического моделирования, Северо-Кавказский федеральный университет (Россия, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1), tvr59@mail.ru
Новикова Ольга Викторовна, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра информационной безопасности автоматизированных систем, Северо-Кавказский федеральный университет (Россия, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1), oly-novikova@yandex.ru

517.957 

DOI

10.21685/2072-3040-2020-3-4 

Актуальность и цели. Изучение преобразований Бэклунда является одной из актуальных тем в теории дифференциальных уравнений в частных производных. Такие преобразования применяются для нахождения решений нелинейных дифференциальных уравнений, в том числе и солитонных. Вместе с этим они представляют собой пример дифференциально-геометрической структуры, порожденной дифференциальными уравнениями. Преобразования Бэклунда дают возможность получить не только пары уравнений, но и решение одного из них, если решение другого известно. Данные преобразования играют важную роль в интегрируемых системах, так как выявляют внутренние связи между различными интегрируемыми свойствами, такими как определение симметрий, наличие гамильтоновой структуры. В последнее время в этой области было проведено много исследований. Цель работы – получение новых преобразований и автопреобразований Бэклунда для обобщенных уравнений Лиувилля с показательно-степенной нелинейностью, имеющей множитель, зависящий от первых производных.
Материалы и методы. Рассматривается построение преобразований Бэклунда для нелинейных уравнений в частных производных второго порядка солитонного типа с логарифмической нелинейностью и гиперболической линейной частью. Построение преобразований базируется на методе, предложенном Клэрэном, для уравнений второго порядка типа Монжа – Ампера.
Результаты. Для исследуемых уравнений с помощью преобразований Бэклунда найдены новые уравнения, которые дают возможность отыскать решения исходных нелинейных уравнений, а также выявить внутренние связи между различными интегрируемыми уравнениями.
Выводы. Результаты представляют интерес для изучения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, в частности солитонных уравнений. Полученные с помощью дифференциальных связей новые уравнения могут использоваться для дальнейших исследований уравнений данного типа, а также при решении множества прикладных задач в физике и технике. 

Ключевые слова

нелинейные уравнения в частных производных, гиперболические уравнения, преобразования Бэклунда, метод Клэрэна, дифференциальные связи, уравнение Лиувилля. 

 Скачать статью в формате PDF

 1. Method for solving the Korteweg – de Vries equation / C. S. Gardner, J. M. Greene, M. D. Kruskal, R. M. Miura // Physical Review Letters. – 1967. – № 19. – P. 1095– 1097.
2. The Korteweg – de Vries equation and generalizations. VI. Method for exact solutions / C. S. Gardner, J. M. Greene, M. D. Kruskal, R. M. Miura // Communications on Pure and Applied Mathematics. – 1974. – № 27. – P. 97–133.
3. Hirota, R. Exact solution of the Korteweg–de Vries equation for multiple collisions of solitons / R. Hirota // Physical Review Letters. – 1971 – № 27. – P. 1192–1194.
4. Ablowitz, M. J. Solitons, nonlinear equations and inverse scattering / M. J. Ablowitz, P. A. Clarkson. – Cambridge : Cambridge University Press, 1991. – 516 p.
5. Барбашов, Б. М. Преобразование Бэклунда для уравнения Лиувилля и калибровочные условия в теории релятивистской струны / Б. М. Барбашов, В. В. Нестеренко // Теоретическая и математическая физика. – 1983. – Т. 56, № 2. – С. 180–191.
6. Кривонос, С. О. Суперполевые расширения уравнения Лиувилля : дис. … канд. физ.-матем. наук : 01.04.02 / Кривонос С. О. – Дубна, 1984. – 109 с. 
7. Иванов, Е. А. Преобразования Бэклунда для суперрасширений уравнения Лиувилля / Е. А. Иванов, С. О. Кривонос // Теоретическая и математическая физика. – 1986. – Т. 66, № 1. – С. 90–101.
8. Inelastic interactions of the multiple-front waves for the modified Kadomtsev- Petviashvili equation in fluid dynamics, plasma physics and electrodynamics / Z. Y. Sun, Y. T. Gao, X. Yu, X. H. Meng, Y. Liu // Wave Motion. – 2009. – Vol. 46, № 8. – P. 511–521
9. Veerakumar, V. Modified Kadomtsev-Petviashvili (MKP) equation and electromagnetic soliton / V. Veerakumar, M. Daniel // Math. Comput. Simul. – 2003. – Vol. 62, № 1. – P. 163–169.
10. Song, J. F. Backlund transformation and CRE solvability for the negative-order modified KdV equation / J. F. Song, Y. H. Hu, Z. Y. Ma // Nonlinear Dynamics. – 2017. – Vol. 90. – P. 575–580.
11. Захаров, В. Е. Гамильтоновской формализм для нелинейных волн / В. Е. Захаров, В. А. Кузнецов // Успехи физических наук. – 1997. – Т. 167, № 11. – С. 1137–1168.
12. Гу ленко, В. В. Гамильтонова формулировка нелинейных динамических уравнений / В. В. Гуленко, В. В. Гущин // Доклады Академии наук Украины. – 1994. – № 3. – С. 73–77.
13. Cheng, J. Miura and auto-Backlund transformations for the q-deformed KP and q-deformed modified KP hierarchies / J. Cheng // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. – 2017. – Vol. 24, № 1. – P. 7–19.
14. Zabrodin, A. V. Backlund transformations for the difference Hirota equation and the supersymmetric Bethe ansatz / A. V. Zabrodin // Theoretical and Mathematical Physics. – 2008. – Vol. 155, № 1. – P. 74–93.
15. Tsiganov, A. V. Backlund transformations and divisor doubling / A. V. Tsiganov // Journal of Geometry and Physics. – 2018. – Vol. 126. – P. 148–158.
16. Редькина, Т. В. Преобразования Бэклунда для системы уравнений в частных производных третьего порядка / Т. В. Редькина // Наука. Инновации. Технологии. – 2017. – № 4. – С. 23–42.
17. Construction of Backlund transformations by the Clearance method for solving the generalized Liouville equation / R. G. Zakinyan, A. R. Zakinyan, T. V. Redkina, O. B. Surneva, O. S. Yanovskaya // Axioms. – 2019. – Vol. 8, № 45. – P. 1–17.
18. Закинян, Р. Г. Преобразования Бэклунда для нелинейных уравнений с гиперболической линейной частью / Р. Г. Закинян, Т. В. Редькина // Перспективные  направления науки и техники : материалы VIII Междунар. науч.-практ. конф. (7–15 сентября 2012 г.). – Вып. 18. – Пшемысль : Наука и студия, 2012. – С. 24–28.
19. Лэм, Д. Л. Введение в теорию солитонов / Д. Л. Лэм. – Москва : Мир, 1983. – 294 с.
20. Погорелов, А. В. Многомерное уравнение Монжа – Ампера / А. В. Погорелов. – Москва : Наука, 1988. – 96 с.
21. Су рнева, О. Б. Нелинейное уравнение, обладающее оператором рассеяния третьего порядка / О. Б. Сурнева, О. С. Яновская // Наука. Инновации. Технологии. – 2018. – № 3. – С. 37–52.